در سؤال ششم هم خواسته شده تساوی دو پاره خط را بیان کنند. تفاوت این سؤال با سؤال قبل این است که دو مثلث در یک ضلع و زاویه مشترک هستند. معمولا دانشآموزان در نوشتن اثبات همنهشتی این مسائل با مشکل جدی مواجه هستند.
در سؤال هفتم از دانشآموزان خواسته شده که نشان دهند هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر پاره خط به یک فاصله است. در این سؤال دانشآموز باید خودش شکل رسم کند و بتواند در شکل دو مثلث همنهشت پیدا کند و مسئله را حل کند.
در تمامی سؤالات دقت شده است که از روابط هندسی مانند خطوط موازی و زوایای مساوی آن استفاده نشود و تمامی تساوی زاویهها و اضلاع به طور واضح بیان شده تا فقط استدلال در همنهشتی دو مثلث بدون مفاهیم هندسی دیگر سنجیده شود.
۳-۹ تعیین روایی آزمون
مقصود از روایی آن است که ابزار اندازهگیری بتواند خصیصه مورد نظر را اندازه بگیرد. اهمیت روایی از آن جهت است که اندازهگیریهای نامناسب و ناکافی میتواند هر پژوهش علمی را بی ارزش و ناروا سازد (خاکی،۱۳۸۲). جهت روایی ابزار مورد استفاده در این پژوهش از روایی محتوایی استفاده شده است. روایی محتوایی بدین معنا است که سؤالات انتخاب شده در آزمون یا پرسشنامه تا چه حد نماینده و معرف مجموعه سؤالات ممکن از موضوع مورد نظر میباشد. در این پژوهش روایی محتوایی آزمون توسط دو نفر از اساتید صاحب نظر در آموزش ریاضی و همچنین توسط شش نفر از دبیران ریاضی مورد تأیید قرار گرفت.
۳-۱۰ تعیین پایایی آزمون
پایایی وسیله اندازهگیری بدین معنا است که اگر ویژگی مورد سنجش، با همان وسیله یا وسایل مشابه، مجدداً اندازهگیری شود، نتایج حاصل، تا چه حد مشابه نتایج اولیه و همچنین دقیق و قابل اعتماد است. برای بررسی پایایی آزمون پس از اجرای آن در نمونه اولیه شامل ۳۰ نفر از دانشآموزان مقطع هفتم از روش برآورد ضریب آلفای کرونباخ استفاده گردید. ضریب آلفای کرونباخ پرسشنامه ۷۷۸/۰ به دست آمد که این مقدار وضعیت مناسبی را در مورد پایایی آزمون نشان میدهد.
۳-۱۱ روش تجزیه و تحلیل داده ها
در این مطالعه برای تجزیه و تحلیل اطلاعات به دست آمده از روشهای آمار توصیفی و استنباطی استفاده شده است. در سطح توصیفی از نمرهگذاری، جدول توزیع فراوانی، بیان درصد داده ها استفاده گردید.
فصل چهارم
تجزیه و تحلیل
یافته های تحقیق
۴-۱ مقدمه
در این فصل که به ارائه یافته های پژوهش اختصاص دارد، از آمار توصیفی استفاده شده است. در مرحله توصیف داده ها، نمونه مورد مطالعه با توجه به متغیرهای مورد نظر بررسی شده و اطلاعات به دست آمده با بهره گرفتن از جدولها و نمودارهای مربوطه توصیف میگردند. سپس فراوانی و درصد پاسخ های درست و نادرست دانشآموزان به تک تک سؤالات آزمون ارائه میشود. با ذکر نمونه هایی از پاسخهای درست و نادرست، به توصیف و تحلیل کیفی این پاسخها، پرداخته میشود و اشتباهات مفهومی شناسایی شده بیان میشود.
۴-۲ بررسی درک دانشآموزان از اثبات همنهشتی مثلث
در این قسمت به بررسی سؤالات آزمون و نحوه پاسخدهی دانشآموزان و درصد پاسخگویی آن ها پرداخته شده است. با تحلیل آن ها به خطاهای دانشآموزان در مبحث همنهشتی مثلثها پرداخته میشود.
۴-۳ بررسی سؤالهای آزمون
سؤال ۱)
در کدامیک از حالت های زیر دو مثلث همنهشت هستند؟ (با ذکر دلیل)
۳ ۲ ۱
پاسخ صحیح شماره ۳ است و ۴/۵۴ درصد دانشآموزان، پاسخ صحیح دادهاند. ۲/۲۷ درصد پاسخ غلط دادهاند و ۴/۲ درصد پاسخی ندادهاند. از میان کسانی که پاسخ صحیح دادهاند ۱۲ درصد دلیل صحیح آوردهاند و ۴ درصد از قابل انطباق بودن دو شکل برای دلیل تساوی دو مثلث استفاده کردهاند.
در این سؤال دانشآموز باید حالتهای تساوی را درک کرده باشد و بداند یک ضلع یا زاویه ی بین مهم است . اگر زاویه بین دو ضلع مساوی یا ضلع بین دو زاویهی مساوی نباشد دو مثلث همنهشت نیستند.
جدول ۴-۲ یافته های مربوط به سؤال ۱
نوع پاسخ های ارائه شده
فراوانی
درصد فراوانی
درست
۱۷۶
۴/۷۰
غلط
۶۸
۲/۲۷
دلیل صحیح
اثبات رسمی
۳۰
۱۲
اتطباق دو مثلث
۱۰
۴
بی پاسخ
۶
۴/۲
نمودار ۴-۱ درصد پاسخگویی به سؤال ۱
سؤال ۲)
در شکل زیر DF = AC است و زاویهی D = A و زاویه ی F = C هستند. نشان دهید دو مثلث ABC و DEF مساوی هستند و اجزای متناظر را بنویسید.
A
B
DE
E
CE
F
دانشآموزان در پاسخ به این سؤال باید تساوی ضلع و دو زاویهای که در صورت مسئله گفته شده بنویسند و از آن نتیجه بگیرند که طبق حالت (ز ض ز) دو مثلث برابرند و سپس اجزای متناظر را بنویسند.
۲۰ درصد دانشآموزان حالت تساوی را درست نوشته بودند، ۶/۱۵درصد دلیل تساوی را صحیح بیان کرده بودند، ۸ درصد از دانشآموزان توانسته بودند اجزای متناظر را به درستی بنویسند، ۴/۶ درصد پاسخ نداده بودند و ۲/۱درصد از دانشآموزان در نوشتن حالت تساوی دو جزء از یک مثلث را برابر هم نوشته بودند.
در بین پاسخها تعدادی از دانشآموزان بدون اینکه دلیل و حالت تساوی را بنویسند، اجزای متناظر را نوشته بودند. تعدادی از آن ها بدون توجه به صورت سؤال برابری سه ضلع را برای اثبات تساوی دو مثلث نوشته بودند و نکته دیگری که مشاهده شد این بود که دانشآموزان معنی و مفهوم ضلع و زاویهی متناظر را نمیدانستند.
جدول ۴-۳ یافته های مربوط به سؤال ۲
نوع پاسخ های ارائه شده
فراوانی
درصد فراوانی
حالت تساوی
۵۰
۲۰
دلیل تساوی
۳۹
۶/۱۵
اجزای متناظر
۲۰
۸
غلط
۱۶۴
۶/۶۵
بدون پاسخ
۱۶
۴/۶
نمودار ۴-۲ درصد پاسخگویی به سؤال ۲
سؤال ۳)
در شکل زیر پاره خطهای EF = AB و DF = BC و DE= AC است. نشان دهید دو مثلث همنهشت هستند و اجزای متناظر آن را بنویسید.
A
C
D
F
B
E
دانشآموزان در پاسخ به این سؤال باید تساوی سه ضلع را که در صورت مسئله گفته شده بنویسند و از آن نتیجه بگیرند که طبق حالت (ض ض ض) دو مثلث برابرند و سپس سه زاویه ی متناظر را بنویسند.
۴/۲۴ درصد دانشآموزان حالت تساوی را درست نوشته بودند، ۸/۳۰ درصد دلیل تساوی را صحیح بیان کرده بودند، ۲/۱۵ درصد از دانشآموزان توانسته بودند اجزای متناظر را به درستی بنویسند، ۴/۸ درصد پاسخ نداده بودند و ۴/۰ درصد از دانشآموزان در نوشتن حالت تساوی دو جزء از یک مثلث را برابر هم نوشته بودند.
در بین پاسخها تعدادی از دانشآموزان برای اثبات همنهشتی از مثال عددی استفاده کرده بودند و برای طول اضلاع عدد مثال زده بودند. تعدادی از دانشآموزان نیز برای اثبات برابری از انطباق استفاده کرده بودند و نوشته بودند اگر مثلث را بچرخانیم روی دیگری قرار میگیرد.