۲-۵-۱-۱ تفاوت های نظریه امکان با نظریه احتمال

نظریه فازی یک ابزار مفید برای انجام محاسبات با بهره گرفتن از کلمات به جای اعداد است و نظریه احتمال نمی تواند یک روش جامع در برخورد با عدم قطعیت باشد به خاطر اینکه:

الف) نظریه احتمال از مفهوم رویداد فازی حمایت نمی کند از جمله این رویدادها می توان به عبارتی نظریه «امروز روز گرمی است» ، «ثبات ارزش سهام در بازار قریب الوقوع» اشاره کرد، که نظریه احتمال را نمی توان برای تفسیر قضایای فازی به کار برد، در حالی که رویداد های فازی بخش بزرگی از دانش ما نسبت به جهان واقعیت را در بر می‌گیرد.

ب) احتمال تکنیکی برای بیان کیفیات فازی «خیلی» ، «چند» ، «تا اندازه ای» و نظایر آن ارائه نمی دهد.

ج) نظریه احتمال ، سیستمی برای محاسبه احتمالات فازی به ‌نرم‌های «رویدادمحتمل» ، «رویداد خیلی محتمل» و ….ارائه نمی کند در واقع نظریه احتمال ذهنی ، مفاهیم روشن کننده واقعیت را برآورد نمی کند.

د) نظریه احتمال را نمی توان به زبان معمولی معنا کرد، برای نمونه معنی جمله زیر چندان قابل فهم نیست:

«افزایش سریع قیمت سهام در آینده ای نه چندان دور خیلی محتمل نیست».

و) قدرت بیان مقصود، در نظریه احتمال محدود شده و نمی توان ازآن برای توصیف واژه های زبانی فازی استفاده نمود، مثلاً نمونه زیر قابل استفاده در نظریه احتمال نیست:

ظرفی شامل ۲۰ توپ با اندازه های متفاوت است به صورتی که برخی بزرگ و برخی کوچک و تعدادی هم متوسط هستند. احتمال انتخاب یک توپ «نه بزرگ نه کوچک» چقدر است؟

به طور کلی نظریه امکان جایگزینی برای نظریه احتمال نیست، بلکه نوع دیگری از عدم قطعیت که آن خارج از توانایی احتمال است، مورد بررسی قرار می‌دهد (امینی وخیاطی ، ۱۳۸۵).

قبل از ورود به بحث مجموعه های فازی به نظر مقایسه پیش نگرانه ‌به این مباحث موجب تباین ‌و تمایز دو مجموعه و روشنگری بحث ها و اصول ریاضیات آن می شود، البته ‌در مورد مجموعه های قطعی چند تعریف اولیه آورده شده است. در این جا جدولی مقایسه ای بین مهمترین جنبه‌های فازی و غیر فازی ارائه شده است:

جدول۲-۵ مقایسه ای ‌در مورد مهمترین جنبه‌های فازی و غیر فازی(شکاری،۱۳۷۸،۱۷)

۲-۵-۲ مفاهیم اساسی مجموعه های فازی

تابع عضویت: اگر بُرد تابع نشانگر را از مجموعه ی دو عضویت{۱و۰ } به بازه ی [۱و۰ ] توسعه داده شود، یک تابع خواهیم داشت که به هر x از X عددی را از بازه ی [۱و۰ ] نسبت می‌دهد، ‌به این تابع «تابع عضویت» گوییم وآن را به صورت (x ) μ_A نشان می‌دهیم.

مثال۱: مجموعه مرجع X داده شده است و ازاین مجموعه، مجموعه A شامل اعداد کوچکتر از ۴ و مجموعه B شامل اعداد بزرگ می‌باشد. پس، مجموعه A مجموعه ی قطعی است و مجموعه B مجموعه ی فازی زیرا بزرگ بودن مبهم و ناخوش تعریف است (مؤمنی ،۱۳۸۵, ۱۹۰ ).

X = {1و۲و۳و۴و۵}

A اعداد کوچکتر از ۴

اعداد بزرگB

۲-۵-۳ نمایش مجموعه های فازی

برای نشان دادن یک مجموعه فازی روش های مختلفی وجود دارد، متداول‌ترین روش به کار بردن مستقیم تابع عضویت مجموعه فازی است. در مثال۱ که مجموعه B زیر مجموعه از مجموعه X مجموعه ی اعداد بزرگ را نشان می‌دهد، در این مثال بدین معنی است که عدد سه با درجه عضویت ۴/۰ عضو مجموعه فازی است که با آن درجه عضویت یا «Membership Degree » عدد سه اطلاق می شود (امینی وخیاطی ، ۱۳۸۴).

چند نماد معمول برای نشان دادن متغیر های گسسته در مجموعه های فازی به صورت زیر است:

(۲-۵)

(۲-۶)

(۲-۷)

مثال۲: مثالی ‌در مورد رضایت کارکنان از سازمان را می توان به صورت زیر نمایش داد:

حال مجموعه (A) را با چند نماد معمول نشان می‌دهیم :

دقت کنید که در عمل سینا به دلیل درجه ی عضویت صفر، به مجموعه ی کارکنان راضی تعلق ندارد و ۱= (زهرا) Aμ یعنی به معنای رضایت کامل زهرا ست (مؤمنی، ۱۳۸۵،۱۹۴).

حال اگر مجموعه مرجع X را به صورت در نظر بگیریم، «نزدیک به دو بودن» را برای حالت پیوسته می توان توسط تابع عضویت زیر نمایش داد.(Buckley, 2000, ۳۸۱-۳۹۵)

در عبارت تابع عضویت ، منظور از علامت + ، اجتماع است و نه جمع حسابی و زمانی که یک مجموعه پیوسته باشد، نماد زیر به کار برده می شود:

(۲-۸)

که در آن منظور از علامت ∫ ، اجتماع است (امینی و خیاطی ، ۱۳۸۵ )

۲-۵-۴ اعداد فازی

اعداد فازی تعمیم اعداد معمولی (قطعی) هستند . با بهره گرفتن از اصل گسترش، می توان عملگرهای جبری را برای این اعداد تعمیم داد.

تعریف۲: یک مجموعه فازی N از مجموعه اعداد حقیقی (R) را یک عدد فازی حقیقی گوییم اگر سه وی‍ژگی زیر را داشته باشد:

مجموعه فازی N محدب (یعنی)}, _۲x) _Nµ), _۱x) _Nµ} [λ x₁ + (۱-λ)x₂] ≥ min _Nµ )

بهنجار و تک نمایی باشد (یعنی فقط یک x Є X وجود داشته باشد که ۱=) _۰x) _Nµ)

(x) _Nµ قطعه به قطعه پیوسته باشد.

برای نمونه مجموعه فازی A که در شکل زیر آورده شده، یک عدد فازی است .

زیرا تابع عضویت محدب ، تک نمایی (یک مد بیشتر ندارد ، مد آن صفر است) ، وقطعه به قطعه پیوسته است.

۲-۵-۴-۱ عدد فازی مثلثی^[۲۷]

یکی از کاربردی ترین اعداد فازی ، عدد فازی مثلثی است وبه صورت M=(m,α,β) نشان داده می شود که در شکل زیر نمایش داده شده است.m نما، α فاصله ی نما تا کرانه ی پایین , β فاصله ی نما تا کرانه ی بالا است.

x

x)) _Mµ

β

m

α

A₁

A₂

A₃

۰

m

A₂

A₃

۱

شکل ۲-۲ عدد فازی مثلثی (مومنی، ۱۳۸۵، ۲۰۷)

توجه: گاهی عدد فازی مثلثی را به صورتM=(a₁ ,a₂,a₃) نیز نشان می‌دهد، شکل ریاضی تابع عضویت نیز به صورت زیر است:

(۲-۹)

در غیر اینصورت

۲-۵-۴-۲ عدد فازی ذوزنقه ای^[۲۸]

اگر در تعریف عدد فازی ویژگی تک نمایی بودن را حذف کنید، آنگاه به آن بازه ی فازی^[۲۹]گوییم. به عبارتی دیگر در این حالت یک بازه وجود دارد که در طول این بازه تابع عضویت برابر یک است. با این تعریف عدد فازی حالت خاصی از بازه ی فازی است. بازه فازی را به تسامح عدد فازی ذوزنقه ای نیز می‌نامند. عدد فازی ذوزنقه ای را به صورت M=(m₁, m₂, α , β)نشان می‌دهد، شکل زیر را ملاحظه کنید، اگر m₁= m₂ باشد (تابع و تابع عضویت به صورت خطی باشد) تبدیل به عدد فازی مثلثی می شود.

توجه: گاهی فازی ذوزنقه ای را به صورت M=(a₁ ,a₂,a₃,a₄) نیز نشان می‌دهند (مومنی، ۱۳۸۵ ، ۲۰۹-۲۰۵).

a₂

x

x)) _Mµ

β

α

a₁

m₂

a₄

A₃

۱۰

m₁

a₃

شکل۲-۳ عدد فازی ذوزنقه ای (منبع: مومنی، ۱۳۸۵، ص۲۰۷)

۲-۵-۵ عملیات حسابی روی اعداد فازی